Una de las áreas de aplicación del álgebra es la teoría de códigos cuyos inicios datan del año 1948 a raíz del artículo clásico de Shannon, A Mathematical Theory of Communication . Esta teoría se ocupa de la confiabilidad de la información a través de canales ruidosos y su principal objeto de estudio lo constituyen los códigos correctores de errores, cuyo propósito es agregar suficiente redundacia a un mensaje que se enviará por medio de un canal de tal forma que si no han ocurrido demasiados errores el receptor pueda recuperar el mensaje original. Es importante resaltar que estos son de gran utilidad en diversas aplicaciones, por ejemplo, a finales de los 60’s y principio de los 70’s la nave espacial de la NASA Mariner 9 tomó las primeras fotos a blanco y negro de Marte y las transmitió a través del espacio hasta la tierra usando un código conocido como Reed–Muller.
En el contexto de los códigos correctores de errores se destacan los códigos lineales, los cuales tienen estructura de espacio vectorial. Esta clase de códigos tiene asociado tres parámetros llamados; la longitud, la dimensión y la distancia mínima. Un problema central de esta teoría es construir códigos tales que la longitud no sea muy grande para que la transmisión de la información sea rápida y, que a su vez, la dimensión y la distancia mínima sean grandes en comparación con la longitud, pues de este modo se pueden transmitir una gran variedad de mensajes y se pueden corregir muchos errores.
Dentro de las construcciones de códigos lineales, vale la pena resaltar la presentada por Goppa en 1981, pues construyó códigos lineales a partir de un cuerpo de funciones algebraicas y mostró que los parámetros de estos dependen de las propiedades algebraicas que tenga el cuerpo de funciones subyacente. Por esta razón se pretende que el lector comprenda el Teorema de Riemann-Roch y sus implicaciones en los parámetros de estos últimos códigos, pues, un interés es la busqueda de cotas para la distancia miníma de ellos, diferentes a la proporcionada por la cota de singleton. Adicionalmente se exhibe la construcción de los códigos álgebro-geométricos de Goppa como una generalización del código de Reed-Solomon.
Un cuerpo de funciones algebraicas F/K de una variable sobre K es una extensión de cuerpos F ⊇ K tal que F es una extensión algebraica de grado finito del cuerpo de funciones racionales K(x) para algún x ∈ F trascendente sobre K. Por brevedad nos referiremos a F/K como un cuerpo de funciones.
El conjunto K̃ := {z ∈ F : z es algebraico sobre K} es un subcuerpo de F cuyos elementos se les denomina constantes. Este cuerpo es llamado el cuerpo de constantes de F/K y es claro que satisface las inclusiones K ⊆ K̃ ⫋ F. Además se dice que K es el cuerpo completo de constantes de F si K = K̃.
Observemos que F/K̃ es un cuerpo de funciones sobre K̃ puesto que todo x ∈ F que sea trascendente sobre K, lo es sobre K̃, y como F es una extensión algebraica de grado finito sobre K(x), también es algebraica de grado finito sobre K̃(x).
Ejemplo 1. El ejemplo más simple de un cuerpo de funciones algebraicas sobre un cuerpo K, es el cuerpo de funciones racionales; F/K es llamado racional si F = K(x) para algún x ∈ F trascendente sobre K.
Por el Teorema de Schmidt, toda extensión finitamente generada F de un cuerpo perfecto K es separablemente generada (es decir, existe una base de trascendencia separable)), es por esto que un cuerpo de funciones F/K puede representarse como una extensión algebraica simple de un cuerpo de funciones racionales K(x); es decir, F = K(x,y) donde φ(y) = 0 para algún polinomio irreducible φ con coeficientes en K(x).
Ejemplo 2. Sea ℝ(x) el cuerpo de funciones racionales sobre los números reales. El polinomio f(T) = T2 + x2 + 1 ∈ ℝ(x)(T) es irreducible sobre ℝ(x). Si F = ℝ(x,y) donde y2 + x2 + 1 = 0, entonces [F:ℝ(x)] = 2, luego F es un cuerpo de funciones sobre ℝ.
Definición 1. Un anillo de valuación de un cuerpo de funciones F/K es un anillo 𝒪 ⊆ F con las siguientes propiedades:
K ⫋ 𝒪 ⫋ F.
Para todo z ∈ F, se cumple que z ∈ 𝒪 o z−1 ∈ 𝒪.
Los anillos de valuación satisfacen lo siguiente:
Proposición 1. 1 Sea 𝒪 un anillo de valuación de F/K. Entonces
𝒪 es un anillo local, es decir, 𝒪 tiene un único ideal maximal a saber, P = 𝒪 − 𝒪*, donde $\mathcal{O}^{*}=\{z \in F: \text{existe $w \in \mathcal{O}$ con $wz=zw=1$ $ $}\}$ es el grupo de unidades de 𝒪.
Sea 0 ≠ x ∈ F. Entonces x ∈ P si y solo si x−1 ∉ 𝒪.
El cuerpo de constantes K̃ de F/K satisface que K̃ ⊆ 𝒪 y K̃ ∩ P = {0}.
De igual modo, el ideal maximal P de un anillo de valuación 𝒪 cumple:
Proposición 2. 2 Sea 𝒪 un anillo de valuación de F/K y P su único ideal maximal. Entonces
P es un ideal principal.
Si P = t𝒪, entonces cada 0 ≠ z ∈ F tiene una representación única de la forma z = tnu para algún n ∈ ℤ y u ∈ 𝒪*.
𝒪 es un dominio de ideales principales. Más precisamente, si P = t𝒪 e I ≠ {0} es un ideal de 𝒪, entonces I = tn𝒪 para algún n ∈ ℕ.
Al único ideal maximal P de un anillo de valuación se le llama lugar y a todo elemento t ∈ P tal que P = t𝒪 se le denomina elemento primo de P. Denotaremos por ℙF := {P : P es un lugar de F/K}.
Observación 1. De acuerdo al item 2. de la Proposición Proposición 1, se deduce que si 𝒪 es un anillo de valuación de F/K y P es su ideal maximal, entonces 𝒪 es determinado únicamente por P, a saber, 𝒪 = {z ∈ F : z−1 ∉ P}. A razón de esto, 𝒪P := 𝒪 es llamado el anillo de valuación del lugar P.
Una descripción útil de los lugares se da en términos de valuaciones.
Definición 2. Una valuación discreta de F/K es una función v : F → ℤ ∪ {∞} con las siguientes propiedades:
v(x) = ∞ si y solo si x = 0.
v(xy) = v(x) + v(y) para todo x, y ∈ F.
v(x+y) ≥ min {v(x), v(y)} para todo x, y ∈ F.
Existe z ∈ F para el cual v(z) = 1.
v(a) = 0 para todo 0 ≠ a ∈ K.
En este contexto el símbolo ∞ es usado para identificar un elemento no entero tal que ∞ + ∞ = ∞, ∞ + n = n + ∞ = ∞ y ∞ > m, para todo m, n ∈ ℤ. La propiedad (3) es conocida como desigualdad triangular. Es fácil verificar que la función v es sobreyectiva. En efecto, por la propiedad (4) de la definición anterior podemos elegir z ∈ F tal que v(z) = 1. Entonces para todo n ∈ ℤ, n = n ⋅ 1 = n ⋅ v(z) = v(zn), por la propiedad 2. en la Definición Definición 2.
A un lugar P ∈ ℙF le asociamos una función vP : F → ℤ ∪ {∞} (que resultará ser una valuación discreta de F/K) como sigue: sea t un elemento primo de P. Entonces cada elemento no nulo z ∈ F tiene una representación única de la forma z = tnu para algún n ∈ ℤ y u ∈ 𝒪*. Definimos vP(z) := n y vP(0) := ∞. Esta definición depende solo de P y no de la elección de t. En efecto, consideremos t′ otro elemento primo de P. Entonces P = t𝒪 = t′𝒪, así t = t′w para algún w ∈ 𝒪. Si w ∉ 𝒪*, entonces w = tw1 con w1 ∈ 𝒪 y por consiguiente t = t′tw1, es decir, t′w1 = 1, una contradicción porque t′ ∈ P. Por lo tanto z = tnu = (t′nwn)u = t′n(wnu) con wnu ∈ 𝒪*. El resultado que sigue establece que vP es una valuación discreta de F/K.
Proposición 3. 3. Sea F/K un cuerpo de funciones.
Para un lugar P ∈ ℙF, la función vP definida anteriormente es una valuación discreta de F/K. Más aún, si A = {z ∈ F : vP(z) ≥ 0}, B = {z ∈ F : vP(z) > 0}, C = {z ∈ F : vP(z) = 0}, entonces 𝒪P = A, P = B y 𝒪P* = C.
x ∈ P es un elemento primo de P si y solo si vP(x) = 1.
Si v es una valuación discreta de F/K, entonces el conjunto P := {z ∈ F : v(z) > 0} es un lugar de F/K, y 𝒪P = {z ∈ F : v(z) ≥ 0} es el correspondiente anillo de valuación.
Cualquier anillo de valuación de F/K es un subanillo propio maximal de F.
Sean P un lugar de F/K y 𝒪P su anillo de valuación. El anillo 𝒪P/P es un cuerpo el cual se denotará por FP := 𝒪P/P y lo llamaremos el cuerpo de clases residuales de P. Para x ∈ 𝒪P definimos x(P) como la clase residual de x módulo P, y si x ∈ F − 𝒪P entonces x−1 ∈ P, luego x−1(P) = 0, por lo que definimos x(P) := ∞. En este sentido el símbolo ∞ tiene una interpretación diferente a la dada anteriormente. De la Proposición Proposición 1 deducimos que K ⊆ 𝒪P y K ∩ P = {0}, de modo que podemos pensar en K como un subcuerpo de FP mediante la inmersión K ↪ FP inducida al restringir el homomorfismo canónico π : 𝒪P → 𝒪P/P sobre K, además obsérvese que el anterior argumento también se aplica a K̃ en lugar de K, así en definitiva consideramos a K y K̃ como subcuerpos de FP. La aplicación $$\phi: \left\{ \begin{array}{r@{\hspace{-2pt}}c@{\hspace{-4pt}} c@{\hspace{4pt}}l} &F & \quad \longrightarrow & F_P \cup \{\infty\},\\ &x\ \ & \quad \longmapsto&x(P)\end{array}\right.$$ donde x(P) ∈ FP si x ∈ 𝒪P y x(P) := ∞ si x ∈ F − 𝒪P, es llamada la aplicación de clases residuales con respecto a P. En ocasiones se escribe x + P := x(P) para x ∈ 𝒪P. Ahora en virtud de que K ⊆ K̃ ⊆ FP siendo P un lugar, definimos deg P := [FP:K] como el grado de P. Un lugar de grado uno se llama lugar racional de F/K. El grado de un lugar es siempre finito, más concretamente se tiene lo siguiente:
Proposición 4. 4 Si P es un lugar de F/K y 0 ≠ x ∈ P, entonces deg P ≤ [F:K(x)] < ∞.
De esto último se sigue inmediatamente que el cuerpo K̃ de constantes de F/K es una extensión finita de K. El próximo teorema garantiza que ℙF es no vacío.
Teorema 1 (Existencia de Lugares). Sea F/K un cuerpo de funciones y R un subanillo de F con K ⊆ R ⊆ F. Supongamos que {0} ≠ I ⫋ R es un ideal propio de R. Entonces existe un lugar P ∈ ℙF tal que I ⊆ P y R ⊆ 𝒪P.
Proof. Consideremos el conjunto $$\mathcal{F}:=\{S : \text{$ S$ es un subanillo de $F$ con $R \subseteq S$ y $IS\neq S$}\}.$$ Por definición, IS es el conjunto de todas las sumas finitas ∑avsv con av ∈ I y sv ∈ S; más aún, IS un ideal de S. Ordenamos a ℱ por inclusión. Puesto que R es un subanillo de F y IR ≠ R (porque I es un ideal propio de R) se tiene que R ∈ ℱ, luego ℱ es no vacío. Sea ℋ ⊆ ℱ un subconjunto totalmente ordenado de ℱ y definamos T := ∪S ∈ ℋS. Entonces es claro que R ⊆ T, T es un subanillo de F y S ⊆ T para todo S ∈ ℋ. Afirmamos que IT ≠ T. En efecto, si esto es falso podemos escribir $1=\sum_{i=1}^{n}{a_is_i}$ donde ai ∈ I y si ∈ T para todo i, pero dado que ℋ es un conjunto totalmente ordenado, existe S̃ ∈ ℋ tal que s1, s2, …, sn ∈ S̃, así $1=\sum_{i=1}^{n}{a_is_i} \in I\widetilde{S}$ y IS̃ = S̃, una contradicción. De esta manera T ∈ ℱ. Empleando el Lema de Zorn, encontramos 𝒪 tal que 𝒪 es un subanillo de F, R ⊆ 𝒪, I𝒪 ≠ 𝒪 y 𝒪 es maximal con respecto a estas propiedades. En lo que sigue mostraremos que 𝒪 es un anillo de valuación de F/K. Como I ≠ {0} y I𝒪 ≠ 𝒪, todo elemento de I no es una unidad de 𝒪 (note que si 0 ≠ x pertenece a I y es tal que x ∈ 𝒪*, entonces existe w ∈ 𝒪 con xw = 1, luego para todo z ∈ 𝒪, z = 1 ⋅ z = (xw) ⋅ z = x(wz) ∈ I𝒪, de modo que I𝒪 = 𝒪, una contradicción). Por lo tanto I ⊆ 𝒪 − 𝒪*. En principio K ⊆ 𝒪 ⊆ F, sin embargo por lo anterior; tanto K como F no pueden ser iguales a 𝒪. Supongamos ahora que existe z ∈ F con z ∉ 𝒪 y z−1 ∉ 𝒪. Consideremos los anillos 𝒪[z] y 𝒪[z−1]. Por la maximalidad del anillo 𝒪 debe ocurrir que 𝒪[z] = I𝒪[z] y 𝒪[z−1] = I𝒪[z−1], por lo que en particular podemos encontrar elementos a0, a1, …, an, b0, b1, …, bm ∈ I𝒪 tales que $$\begin{aligned} \label{1.66} 1= a_0+a_1z+a_2z^{2}+\cdots+ a_nz^{n}, \quad \text{ $n \geq 0$ \quad y} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \label{1.77} 1= b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+\cdots+ b_mz^{-m}, \quad \text{$m \geq0 $}. \end{aligned}$$ Si n = 0, entonces 1 = a0 ∈ I𝒪 y en su efecto I𝒪 = 𝒪, una contradicción. Así n ≥ 1. De manera similar se muestra que m ≥ 1. Entonces los conjuntos A := {n ∈ ℤ+ : 1 = a0 + a1z + ⋯ + anzn donde ai ∈ I𝒪} y B := {m ∈ ℤ+ : 1 = b0 + b1z−1 + ⋯ + bmz−m donde bi ∈ I𝒪}, son no vacíos por ([1.66]) y ([1.77]) en su orden, luego el principio del buen orden garantiza la existencia de un elemento mínimo tanto para A como para B. Sean m y n elegidos de manera minimal en ([1.66]) y ([1.77]) respectivamente y sin pérdida de generalidad supongamos m ≤ n. Si multiplicamos ([1.66]) por 1 − b0 y ([1.77]) por anzn obtenemos, $$\begin{aligned} 1-b_0&=&(1-b_0)a_0+(1-b_0)a_1z+(1-b_0)a_2z^{2}+\cdots+(1-b_0)a_nz^{n} \quad \text{y} \\ &0=&(b_0-1)a_nz^n+b_1a_nz^{n-1}+\cdots+b_ma_nz^{n-m}, \end{aligned}$$ luego la suma de estas ecuaciones da como resultado 1 = c0 + c1z + ⋯ + cn − 1zn − 1, donde los coeficientes ci ∈ I𝒪. Esto es una contradicción con la minimalidad de n en ([1.66]). Por lo tanto, hemos demostrado que z ∈ 𝒪 o z−1 ∈ 𝒪 para todo z ∈ F y por ende 𝒪 es un anillo de valuación de F/K. ◻
Observación 2. Sea P un lugar de F/K. Si deg P = 1, entonces FP = K y la aplicación de clases residuales aplica F sobre K ∪ {∞}. En particular, si K es un cuerpo algebraicamente cerrado y P ∈ ℙF, entonces P es racional. Así las cosas, si cada lugar es racional, podemos entender un elemento z ∈ F como una función $$\label{2.8} z: \left\{ \begin{array}{r@{\hspace{-2pt}}c@{\hspace{-4pt}} c@{\hspace{4pt}}l} &\mathbb{P}_F & \quad \longrightarrow & K \cup \{\infty\},\\ &P\ \ & \quad \longmapsto&z(P).\end{array}\right.$$ Es por eso que F/K es llamado un cuerpo de funciones. Los elementos de K interpretados como funciones en el sentido ([2.8]), son funciones constantes. Por esta razón K se denomina el cuerpo de constantes de F.
Definición 3. Sea z ∈ F y P ∈ ℙF. Decimos que P es un cero de z si y solo si vp(z) > 0; P es un polo de z si y solo si vp(z) < 0. Si vp(z) = m > 0, P es un cero de z de orden m; si vp(z) = − m < 0, P es polo de z de orden m.
En virtud del Teorema Teorema 1 obtenemos que cada elemento z ∈ F trascendente sobre K tiene por lo menos un cero y por lo menos un polo. Más exactamente:
Corolario 1. Sea F/K un cuerpo de funciones y z ∈ F trascendente sobre K. Entonces z tiene por lo menos un cero y por lo menos un polo.
Proof. Consideremos el anillo R = K[z] y el ideal I = zK[z]. Por el Teorema Teorema 1 existe un lugar P ∈ ℙF con z ∈ P, por consiguiente P es un cero de z. Del mismo modo, si tomamos R = K[z−1] e I = z−1K[z−1], existe un lugar Q ∈ ℙF con z−1 ∈ Q, luego vQ(z−1) > 0, es decir, Q es un polo de z. ◻
Sea K un cuerpo y x un elemento trascendente sobre K. Denotemos por K[x] el anillo de polinomios en la indeterminada x con coeficientes en K. El cuerpo de funciones racionales F = K(x) se define como $$K(x):=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}: f(x),g(x) \in K[x],g(x) \neq 0\right\}.$$ Dado un polinomio mónico e irreducible p(x) ∈ K[x], el conjunto $$\label{29} \mathcal{O}_{p(x)}:=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}: f(x),g(x) \in K[x], p(x)\nmid g(x)\right\}$$ resulta ser un anillo de valuación en K(x)/K. En efecto,
Cualquier k ∈ K puede escribir de la forma $k= \frac{k}{1}$ y p(x) ∤ 1 por la irreducibilidad de p(x) sobre K, luego k ∈ 𝒪p(x). Además, K ⫋ 𝒪p(x) y 𝒪p(x) ⫋ K(x).
Supongamos que $z= \frac{f(x)}{g(x)} \in K(x)- \mathcal{O}_{p(x)}$ donde f(x) y g(x) son primos relativos. Como p(x) ∣ g(x), se sigue que p(x) ∤ f(x), luego $z^{-1}=\frac{g(x)}{f(x)}\in \mathcal{O}_{p(x)}.$
Así mismo, notemos que si $z= \frac{f(x)}{g(x)} \in \mathcal{O}_{p(x)}^*$, entonces $z^{-1}=\frac{g(x)}{f(x)} \in \mathcal{O}_{p(x)}$ y por ende, $$z \in A:=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}: f(x), g(x) \in K[x], p(x)\nmid f(x), p(x)\nmid g(x)\right\}.$$ Recíprocamente, si z ∈ A, entonces es claro que z ∈ 𝒪p(x)*, porque z y z−1 ∈ 𝒪p(x). De esta manera se sigue que el conjunto de unidades de este anillo de valuación viene dado por $$\mathcal{O}_{p(x)}^*=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}: f(x), g(x) \in K[x], p(x)\nmid f(x), p(x)\nmid g(x)\right\},$$ y en consecuencia $$\label{Op(x)} P_{p(x)}=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}: f(x),g(x) \in K[x], p(x) \mid f(x), p(x) \nmid g(x)\right\},$$ es el correspondiente lugar de 𝒪p(x). Cuando p(x) es lineal escribimos Pα := Px − α. El anillo 𝒪p(x) es llamado anillo de valuación asociado al polinomio mónico e irreducible p(x).
Observación 3. Supongamos que p(x), q(x) ∈ K[x] son polinomios mónicos e irreducibles distintos. Si 𝒪p(x) = 𝒪q(x), entonces Pp(x) = Pq(x), por lo que p(x) ∈ Pq(x). Sin embargo, vPq(x)(p(x)) = 0, una contradicción. En los términos anteriores, hemos probado que si p(x) y q(x) son polinomios mónicos e irreducibles distintos, entonces 𝒪p(x) ≠ 𝒪q(x).
Otro anillo de valuación en K(x)/K está dado por el conjunto $$\mathcal{O}_{\infty}:=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}: \deg f(x) \leq \deg g(x)\right\},$$ el cual tiene como ideal maximal $$\label{lugar_infinito} P_{\infty}=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}: f(x), g(x) \in K[x],\deg f<\deg g(x)\right\}.$$ Este último es llamado el lugar infinito de K(x)/K. La etiqueta de“∞" depende del elemento generador de la extensión K(x)/K. Por ejemplo P0 es el lugar infinito de K(x−1).
Proposición 5. Sea F = K(x) el cuerpo de funciones racionales.
Si P = Pp(x) ∈ ℙK(x) es el lugar definido por ([Op(x)]) donde p(x) ∈ K[x] es un polinomio irreducible sobre K, entonces p(x) es un elemento primo de P y la correspondiente valuación discreta vP puede describirse como sigue: si 0 ≠ z ∈ K(x) se escribe como $z=p(x)^n \cdot \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)$ con f(x), g(x) ∈ K[x], p(x) ∤ f(x) y p(x) ∤ g(x), entonces vP(z) := n. En el caso z = 0, definimos vP(z) := ∞. Además, el cuerpo de clases residuales K(x)P = 𝒪P/P es isomorfo a K[x]/⟨p(x)⟩. Consecuentemente deg P = deg (p(x)).
En el caso especial cuando p(x) = x − α con α ∈ K, el grado de P = Pα es 1, y la aplicación de clases residuales está dada por
$$\phi: \left\{ \begin{array}{r@{\hspace{-2pt}}c@{\hspace{-4pt}} c@{\hspace{4pt}}l} &K(x) & \quad \longrightarrow &K(x)_P \cup \{\infty\},\\ &z\ \ & \quad \longmapsto&z(P)=z(\alpha)\end{array}\right.$$
donde z(α) se define de la siguiente manera: si escribimos $z=\frac{f(x)}{g(x)}$ con f(x), g(x) elementos de K[x] primos relativos, entonces $$z(\alpha):= \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} & si & g(\alpha) \neq 0, \\ \\ \infty & si & g(\alpha)=0. \\ \end{array} \right.$$
Finalmente, sea P∞ el lugar infinito de K(x)/K definido por ([lugar_infinito]). Entonces P∞ es racional y un elemento primo de P∞ es $t=\frac{1}{x}.$ La correspondiente valuación discreta v∞ está dada por $$v_{\infty}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\deg g(x)-\deg f(x),$$ donde f(x), g(x) ∈ K[x]. La aplicación de clases residuales correspondiente a P∞ está determinada como sigue: $$\phi: \left\{ \begin{array}{r@{\hspace{-2pt}}c@{\hspace{-4pt}} c@{\hspace{4pt}}l} &K(x) & \quad \longrightarrow &K(x)_{P_{\infty}} \cup \{\infty\},\\ &z\ \ & \quad \longmapsto&z(P_{\infty})=z(\infty)\end{array}\right.$$ donde si $$z= \frac{a_nx^n+\cdots+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_0} \text{ con $a_n,b_m \neq 0 , $}$$ entonces $$z(\infty):= \left\{ \begin{array}{lcc} \frac{a_n}{b_m} & si & n=m, \\ \\ 0 & si & n<m, \\ \\ \infty & si & n>m. \\ \end{array} \right.$$
K es el cuerpo completo de constantes de K(x)/K.
Podemos clasificar los lugares de un cuerpo de funciones racionales así:
Teorema 2 (Lugares de un Cuerpo de Funciones Racionales). Sea F = K(x) el cuerpo de funciones racionales sobre K. Si P ∈ ℙK(x), entonces P = Pp(x) para algún polinomio p(x) ∈ K[x] mónico e irreducible ó P = P∞.
Con base en lo anterior se obtiene lo siguiente:
Corolario 2. Los lugares de K(x)/K racionales están en correspondencia uno a uno con K ∪ {∞}.
Proof. Sea P un lugar racional de K(x)/K. Entonces P = Pp(x) donde p(x) = x − α para algún α ∈ K ó P = P∞. De acuerdo con la Observación Observación 3 tenemos la aplicación uno a uno $$\phi: \left\{ \begin{array}{r@{\hspace{-2pt}}c@{\hspace{-4pt}} c@{\hspace{4pt}}l} &\{\text{Lugares racionales de $K(x)/K$}\} & \quad \longrightarrow &K \cup \{\infty\},\\ &P_{\alpha}\ \ & \quad \longmapsto&\alpha\\ &P_{\infty}\ \ & \quad \longmapsto&\infty.\end{array}\right.$$ ◻
El resultado más importante de esta sección es el Teorema de aproximación débil, también conocido como el Teorema de la Independencia.
Lema 1. 5 Sea F/K un cuerpo de funciones algebraicas, P1, P2, …, Pn ∈ ℙF lugares distintos dos a dos, x1, x2, …, xn ∈ F y r1, r2, …, rn ∈ ℤ. Entonces:
Existe u ∈ F tal que vP1(u) > 0 y vPi(u) < 0 para i = 2, 3, …, n.
Existe w ∈ F tal que vP1(w−1) > r1 y vPi(w) > ri para i = 2, 3, …, n.
Existe z ∈ F con vPi(z−xi) > ri para i = 1, 2, …, n.
De acuerdo al lema previo enunciamos el teorema mencionado.
Teorema 3. 6[Teorema de aproximación débil][teorema_de_aproximacion] Sea F/K un cuerpo de funciones algebraicas, P1, P2, …, Pn ∈ ℙF lugares distintos dos a dos, x1, x2, …, xn ∈ F y r1, r2, …, rn ∈ ℤ. Entonces existe un elemento x ∈ F que satisface vPi(x−xi) = ri para i = 1, 2, …, n.
Una consecuencia importante de este resultado se enuncia a continuación:
Corolario 3. Cualquier cuerpo de funciones tiene infinitos lugares.
Proof. Supongamos que F/K es un cuerpo de funciones que tiene un número finito de lugares, digamos, P1, P2, …, Pn. Por el Teorema [teorema_de_aproximacion] existe 0 ≠ x ∈ F con vPi(x) > 0 para i = 1, 2, …, n. Entonces x es trascendente sobre K puesto que tiene ceros, sin embargo x no tiene polos, una contradicción con el Corolario Corolario 1. ◻
Podemos estimar el número de ceros de un elemento x ∈ F. En ese sentido obtenemos:
Proposición 6. 7 Sea F/K un cuerpo de funciones y P1, P2, …, Pr ∈ ℙF ceros de x ∈ F. Entonces $$\sum_{i=1}^{r}{v_{P_{i}}(x) \cdot \deg P_i} \leq [F:K(x)].$$
Notese que la proposición anterior permite concluir que en un cuerpo de funciones F/K, todo elemento 0 ≠ x ∈ F tiene un número finito de ceros y polos. Mas exactamente, si x es constante, x no tiene ceros ni polos. Si x es trascendente sobre K, el número de ceros es menor o igual que [F:K(x)]. El mismo argumento muestra que x−1 tiene un número finito de ceros, que finalmente corresponden a los polos de x.
Definición 4. El grupo divisor de F/K se define como el grupo abeliano libre (escrito aditivamente) que es generado por los lugares de F/K; se denota por Div (F).
Un elemento D de Div (F) se denomina divisor de F/K y se interpreta como una suma formal D = ∑P ∈ ℙFnpP con nP ∈ ℤ, y casi todo nP = 0 .
El soporte de D se define por Supp (D) := {P ∈ ℙF : nP ≠ 0}. Un divisor de la forma D = P con P ∈ ℙF es llamado divisor primo.
Dos divisores D = ∑P ∈ ℙFnPP y D′ = ∑P ∈ ℙFmPP se suman coeficiente a coeficiente, es decir, D + D′ = ∑P ∈ ℙF(nP+mP)P. El elemento cero del grupo divisor Div (F) es el divisor 0 := ∑P ∈ ℙFrPP donde rP = 0 para todo P ∈ ℙF. Para Q ∈ ℙF y D = ∑P ∈ ℙFnPP se define vQ(D) := nQ, por lo tanto suele escribirse Supp (D) = {P ∈ ℙF : vP(D) ≠ 0} y D = ∑P ∈ Supp (D)vP(D) ⋅ P.
En Div (F) se define un orden parcial de la siguiente manera: D1 ≤ D2 sii vP(D1) ≤ vP(D2) para todo P ∈ ℙF.
Si D1 ≤ D2 y D1 ≠ D2, escribimos D1 < D2. Un divisor D ≥ 0 es llamado positivo (o efectivo). El grado de un divisor está definido por deg D := ∑P ∈ ℙFvP(D) ⋅ deg P, y esto induce un homomorfismo de grupos deg : Div (F)→ ℤ.
Definición 5. Sea 0 ≠ x ∈ F y denotemos por M (resp. N) el conjunto de ceros (resp. polos) de x en ℙF. Entonces se define $$\begin{aligned} &(x)_{0}&:= \sum_{P \in M}{v_P}(x)P, \text{ el \emph{divisor cero} de $x,$} \\ &(x)_{\infty}&:= -\sum_{P \in N}{v_P(x)P, \text{ el \emph{divisor polo} de $x,$}} \\ &(x)&:= (x)_0-(x)_{\infty}, \text{ el \emph{divisor principal} de $x$.} \end{aligned}$$
Claramente, por la Definición Definición 5, (x)0 ≥ 0, (x)∞ ≥ 0 y (x) = ∑P ∈ ℙFvP(x)P.
Diremos que dos divisores A y B son equivalentes si A = B + (x) para algún 0 ≠ x ∈ F. Un primer resultado acerca de los divisores principales se muestra enseguida.
Teorema 4. Todos los divisores principales tienen grado cero. Más explícitamente: sea x ∈ F − K y denotemos por (x)0 (resp. (x)∞) el divisor cero de x (resp. el divisor polo de x). Entonces deg (x)0 = deg (x)∞ = [F:K(x)].
Ejemplo 3. Consideremos el cuerpo de funciones racionales K(x)/K y un elemento no constante $$z=\frac{f(x)}{g(x)} \in K(x),$$ con f(x) y g(x) primos relativos. Escribamos $f(x)= \prod_{i=1}^{r}{p_i(x)^{n_i}}$ y $g(x)= \prod_{j=1}^{s}{q_j(x)^{m_j}}$ donde pi(x), qj(x) son polinomios irreducibles con coeficientes en K, y ni, mj enteros no negativos. Como z ∈ K(x) − K, se conoce por el Teorema Teorema 4 que [K(x):K(z)] = deg (z)∞, pero $$\begin{aligned} \deg (z)_{\infty}&=&\sum_{j=1}^s(\beta_j\deg q_j(x))+\max\{\deg f(x)-\deg g(x),0\}\\&=&\deg g(x)+\max\{\deg f(x)-\deg g(x),0\}\\&=&\max\{\deg f(x), \deg g(x)\}.\end{aligned}$$ En consecuencia, [K(x):K(z)] = max {deg f(x), deg g(x)}. Ahora si K(x) = K(z), entonces [K(x):K(z)] = 1 de donde se infiere que $z=\frac{ax+b}{cx+d},$ con a, b, c, d ∈ K y ad − bc ≠ 0, ya que f y g son primos relativos.
Observación 4.
0 ≠ x ∈ K si y solo si (x) = 0.
Para 0 ≠ x ∈ F y P un lugar de F/K, vP((x)) = vP(x) por ([divisor_principal]).
Ejemplo 4. El elemento $u=\frac{(x+1)^2}{x-5}$ del cuerpo de funciones racionales ℝ(x) tiene divisor principal $$\begin{aligned} (u)&=&2\cdot(x+1)+(-1)\cdot(x-5)\\&=&2\cdot((x+1)_0-(x+1)_{\infty})+(-1)\cdot ((x-5)_0-(x-5)_{P_{\infty}})\\&=& 2\cdot (x+1)_0+(-2)\cdot (x+1)_{\infty}+(-1)\cdot (x-5)_0+1\cdot(x-5)_{\infty}\\&=& 2P_{x+1}-2P_{\infty}-P_{x-5}+P_{\infty}. \end{aligned}$$
Ejemplo 5. Sea F = K(x)/K el cuerpo de funciones racionales. Para 0 ≠ z ∈ K(x) tenemos que z = a ⋅ f(x)/g(x) con a ∈ K − {0}, f(x), g(x) ∈ K[x] polinomios mónicos y primos relativos. Escribamos $$f(x)=\prod_{i=1}^{r}p_i(x)^{n_i}, \text{ $g(x)=\prod_{j=1}^{s}{q_j(x)^{m_j}}$}$$ donde pi(x), qj(x) son polinomios distintos con coeficientes en K, mónicos e irreducibles. El divisor principal de z en Div (F) es $$\begin{aligned} (z)= \left(\frac{a f(x)}{g(x)}\right)&=& (f(x))-(g(x))\\&=& (f(x))_0-(f(x))_{\infty}-(g(x))_0+(g(x))_{\infty}\\&=& (\prod_{i=1}^{r}p_i(x)^{n_i})_0-(\prod_{i=1}^{r}p_i(x)^{n_i})_{\infty}-(\prod_{j=1}^{s}{q_j(x)^{m_j}})_{0}+(\prod_{j=1}^{s}{q_j(x)^{m_j}})_{\infty}\\&=& \sum_{i=1}^{r}{n_i(p_i(x))_0}-\sum_{i=1}^{r}{n_i(p_i(x))_\infty}- \sum_{j=1}^{s}{m_j(q_j(x))_{0}}+\sum_{j=1}^{s}{m_j(q_j(x))_{\infty}}\\&=& \sum_{i=1}^{r}{n_iP_{p_i(x)}}-\sum_{j=1}^{s}{m_jQ_{q_j(x)}}-\sum_{i=1}^{r}{n_i \deg p_i(x)P_{\infty}}+\sum_{j=1}^{s}{m_j \deg q_j(x)P_{\infty}}\\&=& \sum_{i=1}^{r}{n_iP_{p_i(x)}}-\sum_{j=1}^{s}{m_jQ_{q_j(x)}}-\deg f(x)P_{\infty}+\deg g(x)P_{\infty}\\&=&\sum_{i=1}^{r}{n_iP_{p_i(x)}}-\sum_{j=1}^{s}{m_jQ_{q_j(x)}}+(\deg g(x)-\deg f(x))P_{\infty}. \end{aligned}$$
Definición 6. Para un divisor A ∈ Div (F) definimos el espacio de Riemann-Roch asociado a A por ℒ(A) := {x ∈ F : (x) ≥ − A} ∪ {0}.
Directamente de la definición se obtiene que:
x ∈ ℒ(A) si y solo si vP(x) ≥ − vP(A) para todo P ∈ ℙF.
ℒ(A) ≠ {0} si y solo si existe un divisor A′ ∼ A con A′ ≥ 0.
La definición Definición 6 tiene la siguiente interpretación: si $$A=\sum_{i=1}^{r}{n_iP_i}-\sum_{j=1}^{s}{m_jQ_j}$$ con ni > 0, mj > 0, entonces ℒ(A) consiste de todos los elementos x ∈ F tales que
x tiene ceros de orden mayor o igual que mj, en Qj, para j = 1, 2, …, s y
x solo puede tener polos en P1, P2, …, Pr, con orden polar en Pi no mayor que ni para i = 1, 2, …, r.
El espacio de Riemann-Roch asociado a un divisor A resulta ser un espacio vectorial sobre K de dimensión finita. Al número ℓ(A) := dimKℒ(A) se le llama la dimensión del divisor A. Si A y A′ son divisores equivalentes, entonces ℒ(A) y ℒ(A′) son isomorfos como espacios vectoriales, en particular ℓ(A) = ℓ(A′) y deg (A) = deg (A′), por el Teorema Teorema 4.
Ejemplo 6. En el cuerpo de funciones racionales ℝ(x)/ℝ, consideremos el divisor principal (u) donde $u=\frac{(x+1)^2}{x-5}.$ Si z ∈ ℒ((u)), entonces sus ceros son de orden mayor o igual que 1 y 2 en Px − 5 y P∞ respectivamente. También z puede tener polos en Px + 1 y P∞ con orden polar no mayor que 2 y 1 respectivamente.
Proposición 7. 8[corolario_1.26]
Si deg A < 0, entonces ℓ(A) = 0.
Para un divisor A con deg A = 0, las siguientes afirmaciones son equivalentes.
A es un divisor principal.
ℓ(A) ≥ 1.
ℓ(A) = 1.
Definición 7. El género g de un cuerpo de funciones F/K está definido por g := max {deg A − ℓ(A) + 1 : A ∈ Div (F)}.
Observación 5. El género de F/K es un entero no negativo. En efecto, según la Observación Observación 4, K ⊆ ℒ(0), más aún, si 0 ≠ x ∈ ℒ(0), entonces (x) ≥ 0. Esto significa que x no tiene polos, así que x ∈ K por el Corolario Corolario 1. Por lo tanto ℒ(0) = K. Ahora si en la definición previa se toma el divisor A = 0, entonces deg 0 − ℓ(0) + 1 = 0, con lo cual g ≥ 0.
Teorema 5. 9[Teorema de Riemann][teorema_de_riemann] Sea F/K un cuerpo de funciones de género g. Entonces:
Para todo A ∈ Div (F), ℓ(A) ≥ deg A + 1 − g.
Existe c ∈ ℤ, dependiente solo del cuerpo de funciones F/K, tal que ℓ(A) = deg A + 1 − g, siempre que deg A ≥ c.
Ejemplo 7. El cuerpo de funciones racionales K(x)/K tiene género g = 0. El divisor cero y el divisor polo de x son respectivamente (x)0 = P0 y (x)∞ = P∞ (notación como en la Proposición Proposición 5). Consideremos para r ≥ 0 el espacio vectorial ℒ(rP∞) y definamos T := {1, x, …, xr}. Entonces:
T es linealmente independiente sobre K.
T ⊆ ℒ(rP∞).
De este modo en lo términos anteriores tenemos $$\begin{aligned} r+1 &\leq& \ell(rP_{\infty}) \text{ por (1)}\\&=&\deg (rP_{\infty})+1-g \text{ para $r$ suficientemente grande}\\ &=&r\cdot \deg P_{\infty}+1-g\\ &=&r+1-g.\end{aligned}$$ Por lo tanto, g ≤ 0; pero también g ≥ 0 según la Observación Observación 5, luego g = 0.
En esta sección F/K denota un cuerpo de funciones algebraicas de género g.
Definición 8. Para A ∈ Div (F) el entero i(A) := ℓ(A) − deg A + g − 1 se denomina el índice de especialidad de A.
Las valuaciones discretas pueden extenderse de manera natural a FℙF (conjunto de funciones de ℙF a F) como sigue: vP(α) := vP(α(P)) donde α ∈ FℙF y P ∈ ℙF.
Con lo anterior podemos considerar a F inmerso en FℙF vía la función inyectiva $$\label{88} \varphi': \left\{ \begin{array}{r@{\hspace{-2pt}}c@{\hspace{-4pt}} c@{\hspace{4pt}}l} &F & \quad \longrightarrow &F^{\mathbb{P}_F},\\ &x\ \ & \quad \longmapsto&\alpha_x\end{array}\right.$$ donde αx(P) = x para todo P ∈ ℙF, además se tiene que vP(φ′(x)) = vP(αx) = vP(αx(P)) = vP(x) para todo P ∈ ℙF.
Se puede proporcionar dos interpretaciones para i(A) en términos de la dimensión de ciertos espacios, como serán descritas por el Teorema Teorema 6 y el Lema Lema 2 que enunciaremos más adelante.
Definición 9. Sea F/K un cuerpo de funciones.
El conjunto 𝒜F := {α ∈ FℙF : α(P) ∈ 𝒪P para casi todo P ∈ ℙF} es llamado el espacio de adeles de F/K.
A los elementos de 𝒜F se les conoce como adeles de F/K. Este puede ser considerado como un elemento del producto directo ∏P ∈ ℙFF y por lo tanto, utilizamos la notación α = (αP)P ∈ ℙF, o simplemente α = (αP).
Si se define la suma componente a componente, entonces 𝒜F tiene estructura de espacio vectorial sobre K. El adele principal αx de un elemento x ∈ F es el adele cuyas componentes son todas iguales a x. En el contexto de la Definición Definición 9, la función φ′ definida en ([88]) resulta ser una inmersión de F en 𝒜F y le llamaremos la inmersión diagonal.
Notación: Si P es un lugar de F/K y α ∈ 𝒜F, escribiremos vP(αP) para denotar vP(α(P)).
Definición 10. Para A ∈ Div (F) definimos 𝒜F(A) := {α ∈ 𝒜F : vP(α) ≥ − vP(A) para todo P ∈ ℙF}.
Este subespacio vectorial de 𝒜F sobre K tiene dimensión infinita. En efecto, si α, β ∈ 𝒜F(A) y a ∈ K, entonces vP(α+β) ≥ min {vP(α), vP(β)} ≥ − vP(A), y vP(aα) = vP(a) + vp(α) = vP(α) ≥ − vP(A) siendo P ∈ ℙF cualquier lugar de F/K. En consecuencia, α + β y aα son elementos de 𝒜F(A). Ahora fijemos un lugar Q ∈ I donde I := ℙF − Supp (A) y consideremos un adele α donde $$\alpha_P:= \left\{ \begin{array}{lcc} 1 & \text{si $P=Q$} \\\\ 0 & \text{si $P \neq Q$}. \end{array} \right.$$ La sucesión {αP}P ∈ I está contenida en 𝒜F(A), luego Gen {αP} ⊆ 𝒜F(A). Sea B = {αQ1, αQ2, …, αQn} una base de Gen {αP} sobre K. El adele β definido por $$\beta_R:= \left\{ \begin{array}{lcc} 1 & \text{si $R \notin \mathop{\mathrm{Supp}}(A)$, $R \neq Q_i$ para todo $i=1,2,\ldots,n$ y $R \neq Q$} \\\\ 0 & \text{ en otro caso}, \end{array} \right.$$ es un elemento de Gen {αP} distinto de αQi, por lo que existen únicos escalares θ1, θ2, …, θn ∈ K tales que $\beta= \sum_{i=1}^{n}{\theta_i \alpha_{Q_i}}.$ Entonces para R ∉ Supp (A), R ≠ Qi y R ≠ Q tenemos $$0=v_{R}(\beta)=v_R(\sum_{i=1}^{n}{\theta_i \alpha_{Q_i}})=v_R(0)=\infty,$$ una contradicción. Por lo tanto, 𝒜F(A) es un espacio vectorial sobre K de dimensión infinita.
Teorema 6. 10 Para cada divisor A, el índice de especialidad es i(A) = dimK(𝒜F/(𝒜F(A)+F)).
Notemos que aunque los espacios vectoriales 𝒜F, 𝒜F(A) y F son de dimensión infinita sobre K, el teorema establece que el espacio cociente 𝒜F/(𝒜F(A)+F) tiene dimensión finita sobre K. Ahora presentaremos el concepto de diferenciales de Weil con el fin de dar una segunda interpretación a el índice de especialidad de un divisor.
Definición 11. Un diferencial de Weil de F/K es una aplicación K−lineal ω : 𝒜F → K que se anula en 𝒜F(A) + F para algún divisor A ∈ Div (F). En otras palabras un diferencial de Weil ω es un funcional lineal tal que ω ∈ Ann (𝒜F(A)+F) para algún A ∈ Div (F).
Llamamos $$\begin{aligned} \Omega_F:=\{\omega: \omega \text{ es un diferencial de Weil de $F/K$}\} \end{aligned}$$ el módulo de diferenciales de Weil de F/K, y para A ∈ Div (F) se define $$\begin{aligned} \Omega_F(A)&:=&\{\omega \in \Omega_F: \text{$\omega$ se anula en $\mathcal{A}_F(A)+F$}\}\\ &=& \mathop{\mathrm{Ann}}(\mathcal{A}_F(A)+F).\end{aligned}$$
Observación 6.
Resulta claro que ΩF = ⋃A ∈ Div (F)ΩF(A).
ΩF es un espacio vectorial sobre K con las operaciones usuales. Más exactamente, si ω1, ω2 ∈ ΩF, es decir, si ω1 se anula en 𝒜F(A1) + F y ω2 se anula en 𝒜F(A2) + F para algunos A1, A2 ∈ Div (F), entonces ω1 + ω2 se anula en 𝒜F(A3) + F para cada divisor A3 con A3 ≤ A1 y A3 ≤ A2, y aω1 se anula en 𝒜F(A1) + F para a ∈ K.
ΩF(A) es un subespacio vectorial de ΩF sobre K.
Lema 2. 11 Para A ∈ Div (F), tenemos que dimKΩF(A) = i(A).
En virtud del lema anterior puede deducirse que ΩF es no vacío, pues bastaría en considerar un divisor A con deg A < − 2.
Definición 12. Para x ∈ F y ω ∈ ΩF definimos xω : 𝒜F → K por (xω)(α) := ω(xα).
Obsérvese que ([xw]) induce en ΩF una estructura de espacio vectorial sobre F. De hecho, si ω se anula en 𝒜F(A) + F para algún A ∈ Div (F), entonces xω se anula en 𝒜F(A+(x)) + F. Además se verifica que ΩF es un espacio vectorial unidimensional sobre F. 12
Se puede asociar un divisor a cada diferencial de Weil ω ≠ 0. Para ello consideremos (fijando ω) el conjunto M(ω) := {A ∈ Div (F) : ω se anula en 𝒜F(A) + F}.
Lema 3. 13 Sea 0 ≠ ω ∈ ΩF. Entonces existe un divisor determinado de forma única W ∈ M(ω) tal que A ≤ W para todo A ∈ M(ω).
Definición 13.
El divisor (ω) de un diferencial de Weil ω ≠ 0 es el divisor de F/K determinado de forma única que satisface:
ω se anula en 𝒜F((ω)) + F.
Si ω se anula en 𝒜F(A) + F, entonces A ≤ (ω).
Para 0 ≠ ω ∈ ΩF y P ∈ ℙF, definimos vP(ω) := vP((ω)).
Un divisor W se llama divisor canónico de F/K, si W = (ω) para algún ω ∈ ΩF.
En este sentido, ΩF(A) = {ω ∈ ΩF : ω = 0 o (ω) ≥ A}.
Proposición 8.
Para 0 ≠ x ∈ F y 0 ≠ ω ∈ ΩF tenemos (xω) = (x) + (ω).
Si ω1, ω2 son diferenciales de Weil no nulos, entonces (ω1) = (ω2) si y solo si ω1 = c ω2 para algún 0 ≠ c ∈ K, esto es, cualesquiera dos divisores canónicos de F/K son equivalentes.
Proof.
Si ω se anula en 𝒜F((ω)) + F, xω se anula en 𝒜F((x)+(ω)) + F, luego (x) + (ω) ≤ (xω). De igual forma, como xω se anula en 𝒜F((xω)) + F, entonces x−1xω se anula en 𝒜F((x−1)+(xω)) + F y por lo tanto (x−1) + (xω) ≤ (x−1xω) = (ω). Combinando ([eq1]) y ([eq2]) obtenemos (x) + (ω) ≤ (xω) ≤ − (x−1) + (ω) = (x) + (ω). Esto prueba (1).
Dado que ΩF es un espacio vectorial sobre F de dimensión 1, existe un elemento no cero c ∈ F tal que ω1 = c ω2, luego (ω1) = ( c ω2) = (c) + (ω2) de acuerdo con (1). Para terminar, el divisor (c) = 0 si y solo si 0 ≠ c ∈ K (ver Observación Observación 4).
◻
Teorema 7. 14[Teorema de Dualidad][teorema_de_dualidad] Sea A ∈ Div (F) y W = (ω) un divisor canónico de F/K. Entonces la aplicación $$\mu: \left\{ \begin{array}{r@{\hspace{-2pt}}c@{\hspace{-4pt}} c@{\hspace{4pt}}l} &\mathscr{L}(W-A) & \quad \longrightarrow &\Omega_F(A),\\ &x\ \ & \quad \longmapsto&x\omega\end{array}\right.$$ es un isomorfismo de espacios vectoriales sobre K. En particular, i(A) = ℓ(W−A).
Resumiendo los resultados de esta sección damos a conocer el Teorema de Riemann-Roch.
Teorema 8 (Teorema de Riemann-Roch). Sea W un divisor canónico de F/K. Entonces para cada divisor A ∈ Div (F), ℓ(A) = deg A + 1 − g + ℓ(W−A).
Ejemplo 8. Haciendo A = 0 en el Teorema de Riemann-Roch se obtiene que 1 = ℓ(0) = deg 0 + 1 − g + ℓ(W−0) = 1 − g + ℓ(W−0), es decir, ℓ(W) = g. Ahora considerando A = W en el Teorema Teorema 8, deducimos g = ℓ(W) = deg W + 1 − g + ℓ(W−W) = deg W + 1 − g + ℓ(0) = deg W + 2 − g, esto es, deg W = 2g − 2.
Ejemplo 9. Sea F = K(x)/K el cuerpo de funciones racionales. Encontrar bases sobre K para los siguientes espacios vectoriales de Riemann-Roch: ℒ(rP∞), ℒ(rPa) y ℒ(Pp(x)), donde r ≥ 0 y P∞, Pa y Pp(x) son los lugares definidos en la Sección 3.
Para ℒ(rP∞) se tiene por el Teorema de Riemann-Roch y la Proposición [corolario_1.26] (1) que ℓ(rP∞) = deg (rP∞) + 1 = r + 1. Una base sobre K para este espacio está dada por B = {1, x, …, xr}.
En el caso de ℒ(rPa), su dimensión ℓ(rPa) = deg (rPa) + 1 = r + 1. Una base sobre K para dicho espacio es B = {1, (x−a)−1, …, (x−a)−r}.
Por último, si consideramos el espacio de Riemann-Roch ℒ(Pp(x)), tenemos que ℓ(Pp(x)) = deg (Pp(x)) + 1 = deg p(x) + 1 y una base sobre K es B = {1, p(x)−1, …, p(x)−deg p(x)}.
A continuación presentamos una caracterización del cuerpo de funciones racionales.
Proposición 9. Para un cuerpo de funciones F/K las siguientes condiciones son equivalentes.
F/K es racional; es decir, F = K(x) para algún x ∈ F trascendente sobre K.
F/K tiene género 0 y existe algún divisor A ∈ Div (F) con deg A = 1.
Si K es un cuerpo algebraicamente cerrado, siempre existe un divisor de grado 1. Por lo tanto, en este caso tenemos g = 0 si y solo si F/K es racional.
Ejemplo 10. Sea F = ℝ(x,y) donde y2 + x2 + 1 = 0. Por el ejemplo Ejemplo 2 sabemos que F/ℝ es un cuerpo de funciones. Dado que el cuerpo de constantes de F, K̃, es una extensión finita de ℝ se sigue que K̃ = ℝ o K̃ = ℂ. Suponiendo que K̃ = ℂ, se obtiene ℝ(x) ⫋ ℂ(x) ⊆ ℝ(x,y), luego ℂ(x) = ℝ(x,y), pero esto no puede ser posible en vista de que $y=\pm i\sqrt{x^2+1},$ luego K̃ = ℝ, es decir, ℝ es el cuerpo completo de constantes de F. Por otro lado, como todo elemento de F tiene un número finito de ceros y polos, podemos decir que vQ(x) ≥ 0 para todo Q, excepto en un número finito de lugares (los polos de x en F). Dado que deg Q = [FQ:ℝ] es finito entonces de nuevo tenemos que deg Q = 1 ó deg Q = 2. Si deg Q = 1, entonces x(Q) ∈ ℝ. Tomando clases residuales módulo Q en la igualdad y2 + x2 + 1 = 0 obtenemos (y(Q))2 = − (x(Q))2 − 1 ∈ ℝ, sin embargo, y(Q) ∈ ℝ puesto que vQ(y2) = vQ(x2+1) ≥ min {vQ(x2), vQ(1)} ≥ 0. En ese orden de ideas, suponer que deg Q = 1 nos lleva a una contradicción. Por lo tanto, deg Q = 2. Estudiemos a continuación los polos de x. Denotemos por Q1, Q2, …, Qr los polos de x, equivalentemente, los ceros de 1/x, entonces dividiendo la igualdad y2 + x2 + 1 = 0 entre x2 encontramos que $$\left(\frac{y}{x}\right)^2+1+\left(\frac{1}{x}\right)^2=0.$$ Argumentando de igual forma que antes para algún lugar Qj (cero de 1/x) concluimos que todos los lugares de F son de grado 2. Teniendo en cuenta lo anterior, afirmamos que g = 0. Para ver esto, observemos que si Q1, Q2, …, Qr son ceros de x en F, entonces $$0\leq \sum_{i=1}^{r}{v_{Q_i}(x)\deg Q_i \leq [F:\mathbb{R}(x)]=2},$$ de ahí que existe un único Qi ∈ ℙF tal que vQi(x)deg Qi = 2, siendo deg Qi = 2, así vQi(x) = 1. El razonamiento anterior muestra que x sólo tiene un cero en F. Ahora dividiendo por x2 la igualdad y2 + x2 + 1 = 0, se garantiza la existencia de un único lugar Q′ ∈ ℙF tal que vQ′(1/x) = 1. Además, vQ′(y2) = vQ′(−x2−1) = min {vQ′(x2), vQ′(1)} = − 2, esto es, vQ′(y) = − 1. Entonces para r ≥ 0, el conjunto B = {1, x, …, xr, y, yx, …, yxr − 1} ⊆ ℒ(rQ′), más aún, es linealmente independiente sobre ℝ y por consiguiente 2r + 1 ≤ ℓ(rQ′) = deg (rQ′) − g + 1 = 2r − g + 1 para r suficientemente grande. Así las cosas, g ≤ 0, y como g ≥ 0, se sigue que g = 0. Por último, es claro que F = ℝ(x,y)/ℝ no es el cuerpo de funciones racionales, dado que todos sus lugares son de grado 2 y en su efecto no existe un divisor A de grado 1.
Los códigos que se construyen a partir de cuerpos de funciones algebraicas fueron introducidos por primera vez por V. D. Goppa en 1981. En este apartado describiremos y desarrollaremos las propiedades de tales códigos, a los que usualmente se les conoce como códigos AG o álgebro-geométricos. Como motivación iniciamos estudiando los códigos Reed-Solomon sobre 𝔽q, que son un caso especial de códigos AG. De igual manera trabajaremos con códigos asociados a un cuerpo de funciones racionales.
Definición 14.
Sea A un conjunto finito. Un código 𝒞 de longitud n sobre A es un subconjunto del producto cartesiano An. A los elementos de 𝒞 se les llaman palabras.
Sean a = (a1,…,an) y b = (b1,…,bn) elementos de An, definimos la distancia de Hamming entre las palabras a y b por d(a,b) := |{i:ai≠bi}|, esto es, d(a,b) es el número de componentes en los cuales a y b difieren.
La distancia mínima de un código 𝒞, es parámetro de 𝒞 dado por d := d(𝒞) = min {d(a,b) : a, b ∈ 𝒞, a ≠ b}. Dicho parámetro da una medida de lo bueno que es un código en relación con la detección y corrección de errores.
Cuando A = 𝔽q y 𝒞 es un subespacio vectorial de 𝔽qn sobre 𝔽q, se dice que 𝒞 es un código lineal y tenemos un parámetro adicional, a saber, su dimensión como subespacio vectorial de 𝔽qn. Se Denota esto por k := dim𝔽q𝒞. Este nuevo parámetro mide la capacidad de transmisión de información del código.
El peso w de un elemento a ∈ 𝔽qn se define como w(a) := d(a,0) = |{i:ai≠0}|. En otras palabras, el peso de la palabra a es el número de sus componentes distintos de cero.
Diremos que 𝒞 es un [n,k,d] código lineal, si 𝒞 tiene longitud n, dimensión k sobre el cuerpo 𝔽q y distancia mínima d.
Sea 𝒞 un [n,k] código sobre 𝔽q. Una matriz generadora de 𝒞 es una matriz de tamaño k × n cuyas filas forman una base de 𝒞.
Sea 𝒞 ⊆ 𝔽qn un código lineal. Entonces 𝒞⊥ := {u ∈ 𝔽qn : ⟨u, c⟩ = 0 para todo c ∈ 𝒞}, es llamado el dual de 𝒞.
Dado un código [n,k,d], existe una cota superior para d, más exactamente:
Proposición 10 (Cota de Singleton). Sea 𝒞 un [n,k,d] código. Entonces k + d ≤ n + 1.
Los códigos en donde k + d = n + 1 se conocen como códigos de máxima distancia separable (códigos MDS). A continuación se introducen los códigos Reed-Solomon, a los cuales se les estudiará diversas propiedades que poseen.
Sea n = q − 1 y β ∈ 𝔽q un elemento primitivo del grupo multiplicativo 𝔽q*, es decir, 𝔽q* = ⟨β⟩ = {β, β2, …, βq − 1 = 1}. Para un entero k con 1 ≤ k ≤ n, consideremos el espacio vectorial k− dimensional ℒk := {f ∈ 𝔽q[x] : deg f ≤ k − 1}, y la aplicación evaluación ev : ℒk → 𝔽qn dada por ev(f) := (f(β),f(β2),…,f(βn)) ∈ 𝔽qn. Notemos que para a, b ∈ 𝔽q y f, g ∈ ℒk, $$\begin{aligned} e_v(af+bg)&=&((af+bg)(\beta), \ldots,(af+bg)(\beta^n))\\&=&((af)(\beta)+(bg)(\beta), \ldots,(af)(\beta^n)+(bg)(\beta^n))\\&=&(af(\beta)+bg(\beta), \ldots,af(\beta^n)+bg(\beta^n))\\&=&(af(\beta),\ldots,af(\beta^n))+(bg(\beta),\ldots,bg(\beta^n))\\&=&a(f(\beta),\ldots,f(\beta^n))+b(g(\beta), \ldots, g(\beta^n))\\&=& ae_v(f)+be_v(g), \end{aligned}$$ y si f ∈ ℒk es tal que ev(f) = 0, entonces (f(β),…,f(βn)) = (0,…,0), luego f tiene n ceros. Como f es un polinomio de grado menor que n, lo anterior es posible sólo si f = 0. Con esto se verifica que ev es una aplicación 𝔽q- lineal e inyectiva. Por el Teorema de la dimensión para espacios vectoriales se sigue que k = dim𝔽qim (ev) y en su efecto, 𝒞k := {(f(β),f(β2),…,f(βn)) : f ∈ ℒk} = im (ev(f)) ⊆ 𝔽qn es un [n,k] código sobre 𝔽q. Llamamos a este código un código RS o (código Reed-Solomon).
El peso de una palabra 0 ≠ c = ev(f) ∈ 𝒞k viene dado por $$\begin{aligned} w(c)&=&|\{i\in\{1,2,\ldots,n\}; f(\beta^{i})\neq 0\}|\\&=& n-|{i\in \{1,2,\ldots,n\};f(\beta^i)=0}|\\&\geq& n-\deg f \\&\geq& n-(k-1).\end{aligned}$$
Así, la distancia mínima d de 𝒞k satisface la desigualdad d ≥ n + 1 − k, pero de otro lado d ≤ n + 1 − k por la cota de singleton; en consecuencia, los códigos Reed-Solomon son códigos MDS sobre 𝔽q. Observar que los códigos RS son de longitud pequeña en comparación con el tamaño del alfabeto 𝔽q, pues n = q − 1.
Resumiendo todo lo anterior tenemos que 𝒞k es un [n,k,d] código sobre 𝔽q, donde n = q − 1, y d = q − k.
Nos interesarán principalmente los lugares racionales de un cuerpo de funciones sobre un cuerpo finito. Su número es finito y se puede estimar mediante el límite de Hasse-Weil (ver Teorema 5.2.3 de ). Este límite tiene muchas implicaciones teóricas numéricas y juega un papel crucial en las aplicaciones de los cuerpos de funciones algebraicas a la codificación.
Fijamos una notación válida para el resto del documento.
F/𝔽q es un cuerpo de funciones algebraicas de género g.
P1, P2, …, Pn son lugares racionales de F/𝔽q, distintos dos a dos.
D = P1 + P2 + ⋯ + Pn.
G es un divisor de F/𝔽q tal que Supp (G) ∩ Supp (D) = ∅. Esto significa que ningún Pi con i = 1, 2, …, n aparece en la expansión del divisor G.
Definición 15. El código álgebro-geométrico o (código ), 𝒞ℒ(D,G), asociado a los divisores D y G se define por 𝒞ℒ(D,G) := {(x(P1),x(P2),…,x(Pn)) : x ∈ ℒ(G)} ⊆ 𝔽qn.
Veamos que esta definición tiene sentido. Para x ∈ ℒ(G), vPi(x) ≥ − vPi(G) = 0 (i=1,2,…,n) porque Supp (G) ∩ Supp (D) = ∅. La clase residual x(Pi) de x módulo Pi es un elemento del cuerpo de clases residuales de Pi, FPi, pero como deg Pi = 1, este cuerpo de clases residuales coincide con 𝔽q, así x(Pi) ∈ 𝔽q. Al igual que en ([ecuacion_de_lk]), podemos considerar la aplicación evD : ℒ(G) → 𝔽qn, dada por evD(x) := (x(P1),x(P2),…,x(Pn)) ∈ 𝔽qn, y es evidente que evD es 𝔽q- lineal y 𝒞ℒ(D,G) = evD(ℒ(G)). El siguiente teorema permitirá calcular (o por lo menos estimar) los parámetros n, k y d del código 𝒞ℒ(D,G) haciendo uso del Teorema de Riemann-Roch.
Teorema 9. 𝒞ℒ(D,G) es un [n,k,d] código con parámetros $$k=\ell(G)-\ell(G-D) \text{ \quad y \quad $d \geq n-\deg G.$}$$
Proof. La aplicación evaluación ([evaluacion_vd]) es una aplicación 𝔽q−lineal, sobreyectiva de ℒ(G) a 𝒞ℒ(D,G) con ker (evD) = ℒ(G−D). Verifiquemos esto último. Observemos que un elemento x ∈ ker (evD) si y solo si vPi(x) > 0 para todo i = 1, 2, …, n. Entonces, si x ∈ ℒ(G−D), vPi(x) ≥ vPi(D) = 1, así x ∈ ker (evD). Por otro lado, sea x ∈ ker (evD) y P un lugar cualquiera de F/𝔽q. Si P = Pi para algún i = 1, 2, …, n; encontramos vP(x) ≥ 1 = − vP(G) + vP(D), y si P ≠ Pi (i=1,2,…,n), obtenemos vP(x) ≥ − vP(G) = − vP(G) + vP(D). Por lo tanto, x ∈ ℒ(G−D) de acuerdo con la Proposición Proposición 5.
De todo lo anterior y del Teorema de la dimensión se sigue que k = dim𝔽q𝒞ℒ(D,G) = ℓ(G) − ℓ(G−D).
La afirmación con respecto a la distancia mínima d tiene sentido sólo si 𝒞ℒ(D,G) no es el código {0} por lo que supondremos esto. Escojamos un elemento x ∈ ℒ(G) con d = w(evD(x)). Entonces exactamente n − d lugares Pi1, …, Pin − d, en el soporte de D son ceros de x, así 0 ≠ x ∈ ℒ(G−(Pi1+⋯+Pin − d)), luego concluimos por la Proposición [corolario_1.26] (1) que 0 ≤ deg (G−(Pi1+⋯+Pin − d)) = deg G − n + d, es decir, d ≥ n − deg G. ◻
Corolario 4. 15[matriz_generadora] Supongamos que deg G < n. Entonces la aplicación evaluación evD : ℒ(G) → 𝒞ℒ(D,G) es inyectiva y tenemos:
𝒞ℒ(D,G) es un [n,k,d] código con $$\label{desigualdad_d} d \geq n-\deg G \text{\quad y \quad $k=\ell(G)\geq \deg G+1-g.$}$$ En consecuencia, k + d ≥ n + 1 − g.
Si además, 2g − 2 < deg G entonces k = deg G + 1 − g.
Si {x1, x2, …, xk} es una base de ℒ(G) sobre 𝔽q, entonces la matriz,
$$M=\begin{bmatrix} x_1(P_1) & x_1(P_2) & \cdots & x_1(P_n)\\ x_2(P_1) & x_2(P_2) & \cdots & x_2(P_n)\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ x_k(P_1)& x_k(P_2)& \cdots & x_k(P_n) \end{bmatrix}$$ es una matriz generadora para 𝒞ℒ(D,G).
La cota inferior ([similar_cota]) para la distancia mínima, es muy similar a la cota de singleton. Al juntar ambas cotas vemos que para deg G < n, n + 1 − g ≤ k + d ≤ n + 1. Notemos que k + d = n + 1 si F es un cuerpo de funciones de género g = 0. En particular los códigos AG construidos a partir de un cuerpo de funciones racionales 𝔽q(z) son códigos MDS siempre que deg G < n.
En esta parte estudiamos los códigos AG asociados a divisores de un cuerpo de funciones racionales. Describiremos estos códigos mediante matrices generadoras y de chequeo de paridad. En la teoría de códigos, esta clase de códigos se conocen con el nombre de códigos Reed-Solomon Generalizados.
Definición 16. Un código álgebro-geométrico 𝒞ℒ(D,G) asociado a los divisores D, G de un cuerpo de funciones racionales 𝔽q(z)/𝔽q se dice que es racional
Como antes, supondremos que D = P1 + P2 + ⋯ + Pn donde los Pi son lugares racionales de 𝔽q(z)/𝔽q distintos dos a dos con Supp (G) ∩ Supp (D) = ∅. Los siguientes resultados se derivan de lo expuesto anteriormente.
Proposición 11. 16[proposicion_3.12] Sea 𝒞 = 𝒞ℒ(D,G) un [n,k,d] código racional sobre 𝔽q. Entonces tenemos:
n ≤ q + 1.
k = 0 si y solo si deg G < 0, y k = n si y solo si deg G > n − 2.
Para 0 ≤ deg G ≤ n − 2, k = 1 + deg G y d = n − deg G. En particular, 𝒞 es un código .
𝒞⊥ es también un código racional.
A continuación se determinan matrices generadoras para códigos AG racionales.
Proposición 12. Sea 𝒞 = 𝒞ℒ(D,G) un [n,k,d] código AG racional sobre 𝔽q.
Si n ≤ q, existen elementos distintos dos a dos α1, …, αn ∈ 𝔽q y v1, …, vn ∈ 𝔽q* (no necesariamente distintos) tales que 𝒞 = {(v1f(α1),v2f(α2),…,vnf(αn)) : f ∈ 𝔽q[z] y deg f ≤ k − 1}.
La matriz $$\label{matriz_1} M=\begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n\\ \alpha_1v_1 & \alpha_2v_2 & \cdots & \alpha_nv_n\\ \alpha_1^{2}v_1 & \alpha_2^2v_2 & \cdots & \alpha_n^2v_n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \alpha_1^{k-1}v_1 & \alpha_2^{k-1}v_2 & \cdots & \alpha_n^{k-1}v_n \end{bmatrix}$$ es una matriz generadora para 𝒞.
Si n = q + 1, 𝒞 tiene una matriz generadora $$\label{matriz_2} M=\begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_{n-1}& 0\\ \alpha_1v_1 & \alpha_2v_2 & \cdots & \alpha_{n-1}v_{n-1}& 0\\ \alpha_1^{2}v_1 & \alpha_2^2v_2 & \cdots & \alpha_{n-1}^2v_{n-1} & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots\\ \alpha_1^{k-1}v_1 & \alpha_2^{k-1}v_2 & \cdots & \alpha_{n-1}^{k-1}v_{n-1} & 1 \end{bmatrix}$$ donde 𝔽q = {α1, α2, …, αn − 1} y v1, v2, …, vn − 1 ∈ 𝔽q*.
Proof.
Sea D = P1 + P2 + ⋯ + Pn. Dado que n ≤ q existe un lugar P de grado 1 que no está en el soporte de D. Seleccionemos un lugar Q ≠ P de grado 1 (por ejemplo Q = P1). Para W un divisor canónico, deg (W−(Q−P)) = − 2 < 0, de ahí que ℓ(W−(Q−P)) = 0. Entonces por el Teorema de Riemann-Roch ℓ(Q−P) = 1, así que Q − P es un divisor principal (ver Proposición [corolario_1.26] (2)).
Sea Q − P = (z). Entonces z es un elemento generador del cuerpo de funciones racionales sobre 𝔽q y P es el divisor polo de z. Como es usual, escribimos P = P∞. Por la Proposición [proposicion_3.12], podemos partir del hecho de que deg G = k − 1 ≥ 0 (el caso k = 0 es trivial). El divisor (k−1)P∞ − G tiene grado cero y por el Teorema de Riemann-Roch su dimensión es mayor o igual a 1, luego es principal en virtud de la Proposición [corolario_1.26] (2), esto es, existe u ∈ Fq(z) no cero tal que (k−1)P∞ − G = (u). El conjunto B = {u, zu, z2u, …, zk − 1u} está contenido en ℒ(G) y es linealmente independiente sobre 𝔽q. Lo primero es porque $$\begin{aligned} (z^iu)&=&i(z)+(u)\\&=&i(Q-P_{\infty})+(k-1)P_{\infty}-G\\&=&iQ-iP_{\infty}+kP_{\infty}-P_{\infty}-G\\&=&iQ+(k-1-i)P_{\infty}-G \\&\geq& -G\end{aligned}$$ para 0 ≤ i ≤ k − 1 y lo segundo se obtiene directamente del hecho de que z es trascendente sobre 𝔽q. Como k ≤ n, entonces deg (G−D) = k − 1 − n < 0 y por lo tanto, |B| = k = ℓ(G) según el Teorema Teorema 9. De esta manera B constituye una base de ℒ(G) sobre 𝔽q y en consecuencia ℒ(G) = {uf(z) : f ∈ 𝔽q[z] y deg f ≤ k − 1}. Definiendo αi := z(Pi) ∈ 𝔽q y vi := u(Pi) ∈ 𝔽q*, obtenemos (uf(z)(Pi)) = u(Pi)f(z)(Pi) = u(Pi)f(z(Pi)) = vif(αi) para i = 1, 2, …, n. De esta manera 𝒞ℒ(D,G) = {(v1f(α1),v2f(α2),…,vnf(αn)) : deg f ≤ k − 1}.
La palabra en 𝒞 correspondiente a uzj es $$\begin{aligned} ((uz^j)(P_1),(uz^j)(P_2),\ldots,(uz^{j})(P_n))&=&(u(P_1)z^j(P_1),u(P_2)z^j(P_2),\ldots,u(P_n)z^j(P_n))\\&=&(v_1\alpha_1^{j},v_2\alpha_2^{j},\ldots,v_n\alpha_n^{j}), \end{aligned}$$ de modo que ([matriz_1]) es una matriz generadora de 𝒞 por el Corolario [matriz_generadora] (3).
La prueba es esencialmente la misma como en el caso n ≤ q. Dado que n = q + 1, el Supp (D) contiene a todos los lugares de grado uno del cuerpo de funciones racionales sobre 𝔽q, así podemos escoger z ∈ F tal que Pn = P∞ es el polo de z. Como antes, el divisor (k−1)P∞ − G = (u) con 0 ≠ u ∈ F, y {u, zu, …, zk − 1u} es una base de ℒ(G) sobre 𝔽q. Para 1 ≤ i ≤ n − 1 = q, los elementos αi := z(Pi) ∈ 𝔽q son distintos dos a dos, por lo que en definitiva tenemos 𝔽q = {α1, α2, …, αn − 1}. Más aún, vi := u(Pi) ∈ 𝔽q* para i = 1, 2, …, n − 1 = q.
La palabra correspondiente al elemento uzj ∈ ℒ(G) para 1 ≤ j ≤ k − 2 está dada por ((uzj)(P1),…,(uzj)(Pn − 1),(uzj)(Pn)) = (v1α1j,…,αn − 1jvn − 1,0), porque vPn(uzj) = vPn(u) + jvPn(z) = k − 1 − j ≥ k − 1 + 2 − k = 1. Ahora para j = k − 1 tenemos vPn(uzk − 1) = vPn(u) + vPn(zk − 1) = vPn(u) + (k−1)vPn(z) = k − 1 − k + 1 = 0, de ahí que, uzk − 1(Pn) = zk − 1u(Pn) = zk − 1(Pn)u(Pn) = γ ≠ 0, y en su efecto (uzk − 1(P1),uzk − 1(P2),…,uzk − 1(Pn)) = (α1k − 1v1,α2k − 1v2,…,αn − 1k − 1vn − 1,γ).
Sustituyendo u por γ−1u concluimos que la matriz ([matriz_2]) es una matriz generadora de 𝒞, según el Corolario [matriz_generadora] (3).
◻
Ejemplo 11. Consideremos el código AG racional 𝒞ℒ(D,G) sobre F = 𝔽5(x)/𝔽5 donde D = Px + Px − 1 + Px − 2 + Px − 3 y G = Px2 + x + 1. En este caso n = 4, y como 0 ≤ deg G = 2 ≤ 4 − 2 se sigue de la Proposición [proposicion_3.12] (3) que k = 3 y d = 2. Por lo tanto, este código es un código MDS. De otro lado, tomemos en consideración los lugares racionales P∞ y Px − 1. Entonces encontramos que Px − 1 − P∞ = (x−1), $2P_{\infty}-G=\left(\frac{1}{x^2+x+1}\right)$ y el conjunto $$B=\left\lbrace{\frac{1}{x^2+x+1},\frac{x-1}{x^2+x+1},\frac{(x-1)^2}{x^2+x+1}}\right\rbrace$$ constituye una base para ℒ(Px2 + x + 1). Finalmente por la Proposición Proposición 12 (1), una matriz generadora para el código dado es $$M=\begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 & v_{4}\\ \alpha_1v_1 & \alpha_2v_2 & \alpha_{3}v_{3}& \alpha_{4}v_{4}\\ \alpha_1^{2}v_1 & \alpha_2^2v_2 & \alpha_{3}^2v_{3} & \alpha_{4}^2v_{4} \end{bmatrix}$$ donde αi + 1 = (x−1)(Px − i) y $v_{i+1}=\left(\frac{1}{x^2+x+1}\right)(P_{x-i})$ para i = 0, 1, 2, 3.
Definición 17. Si α = (α1,α2,…,αn) ∈ 𝔽qn donde αi ≠ αj siempre que i ≠ j y v = (v1,…,vn) ∈ 𝔽q*n donde los vi no necesariamente son distintos, se define el código Reed-Solomon Generalizado denotado por GRSk(α,v) como sigue: GRSk(α,v) := {(v1f(α1),v2f(α2),…,vnf(αn)) : f ∈ 𝔽q[z] y deg f ≤ k − 1}, para un k ≤ n fijo.
Ejemplo 12. En el caso α = (β,β2,…,βn), donde n = q − 1, β es una raíz primitiva n−ésima de la unidad y v = (1,1,…,1), tenemos que GRSk(α,v) = {(f(β),f(β2),…,f(βn)) : f(z) ∈ 𝔽q(z) y deg f ≤ k − 1} es un código Reed-Solomon.
Un argumento similar al usado en ([ck]) muestra que GRSk(α,v) es un [n,k] código. La Proposición Proposición 12 (1) establece que todos los códigos AG racionales sobre 𝔽q de longitud n ≤ q son códigos Reed-Solomon Generalizados. Lo contrario también es cierto.
Proposición 13. Cada código GRSk(α,v) puede ser representado como un código racional.
Proof. Consideremos los elementos α = (α1,…,αn) ∈ 𝔽qn con cada αi distinto y v = (v1,…,vn) ∈ 𝔽q*n donde los vi no necesariamente son distintos. Sea F = 𝔽q(z) el cuerpo de funciones racionales sobre 𝔽q y denotemos por Pi el cero de z − αi (i=1,2,…,n) y por P∞ el polo de z. Entonces P1, P2, …, Pn, P∞ son lugares racionales según la Proposición Proposición 5. Ahora por el Teorema de aproximación débil, existe 0 ≠ u ∈ F con u(Pi) = vi(Pi) = vi, para i = 1, 2, …, n. Definamos D := P1 + P2 + ⋯ + Pn y G := (k−1)P∞ − (u). La prueba de la Proposición Proposición 12 muestra que GRSk(α,v) = 𝒞ℒ(D,G) para n ≤ q. ◻
Los mismos argumentos se aplican a un código de longitud n = q + 1 sobre 𝔽q que tiene una matriz generadora de la forma ([matriz_2]).
Agradezco a los profesores del departamento de matemáticas de la Universidad del Valle, el profesor H. Navarro Oyola por su apoyo como tutor y al profesor A. Garzón Rojas por hacer una lectura cuidadosa del documento y por sus comentarios que mejoraron la calidad del mismo.
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Una prueba se ilustra en la página 2 de la referencia .
↩︎
Consultar la página 3 de la referencia .
↩︎
Una demostración puede encontrarse en la página 5 de ↩︎
Para conocer una prueba formal consulte la página 6 de .↩︎
Los detalles de la demostración pueden ser consultados en las página 12-13 de .↩︎
Una demostración se exhibe en la página 12 de .↩︎
Ver página 14 de .↩︎
Ver página 20 de .↩︎
El lector interesado en conocer una prueba puede remitirse a la página 23 de .↩︎
Consultar página 25 de .↩︎
Consultar página 27 de .↩︎
Ver página 27 de .↩︎
Para conocer más detalles consultar página 28 de .↩︎
Ver página 30 de .↩︎
Para mayor información consultar página 50 de .↩︎
Ver página 56 de .↩︎